拓撲優(yōu)化中采用增材制造填充構件的結構屈曲荷載提升設計

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增材制造技術(3D打印)可實現(xiàn)復雜幾何結構的制備，填補了傳統(tǒng)工藝的制備盲區(qū)。拓撲優(yōu)化方法，眾所周知已成功用于航空航天和汽車行業(yè)的輕量化構件的創(chuàng)新設計，提供了一個可充分利用增材制造帶來的設計自由度進行靈巧設計的平臺，實現(xiàn)設計與制造兩項技術的完美契合。然而，迄今為止，拓撲優(yōu)化方法在適應增材制造技術的約束和帶來機遇方面的進展非常有限。擠壓式增材制造技術，可制備不同于傳統(tǒng)實體結構的內含多孔結構的固體殼結構(圖1)，這也是其獨特的制備特點之一。

近期，本文作者提出了一種名為涂層方法的拓撲優(yōu)化方法。相比于僅可設計實心固體結構  [圖1(a)]的傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法，該方法可設計內部填充多孔結構固體殼結構[圖1(b)]。研究表明，涂層方法雖無法提高結構剛度，但可顯著改善屈曲載荷，提高結構穩(wěn)定性。此外，該研究也表明拓撲優(yōu)化技術與增材制造工藝相結合具有巨大潛力。 利用傳統(tǒng)最小柔順性方法對部件進行拓撲優(yōu)化時，一般不考慮屈曲約束。因此，拓撲優(yōu)化所獲得的最優(yōu)設計往往是拉壓構件配置結構，回避抗彎構件。

然而，構件的屈曲載荷與其彎曲剛度密切相關(如桿的歐拉屈曲與其彎曲剛度成正比)，這些結構最終破壞很可能是由于屈曲載荷，而不是材料的斷裂強度。當結構體分比較少時，該問題尤為顯著。 目前，一些工作試圖在最小柔順性拓撲優(yōu)化中考慮屈曲約束。所建議的方法要么未能獲得可信的設計結果，要么陷入最小特征值(屈曲荷載)附近大量模態(tài)聚集的困擾 。模態(tài)聚集意味著需要計算大量的特征值，導致不可承受的計算負擔。強制性的屈曲分析是作為優(yōu)化后的后續(xù)過程，而不是集成在優(yōu)化過程中的約束。如果發(fā)現(xiàn)構件的穩(wěn)定性不足，則執(zhí)行后處理過程進一步設計以提升臨界屈曲載荷。在這個過程導致設計為較優(yōu)結構而非最優(yōu)結構。 自然界中存在著大量具有較高屈曲荷載與重量比的結構構型。最典型的例子是動物骨骼和植物的莖，它們是由柔軟多孔的內部和堅固的外殼組成。夾層結構也應用了相同的概念，其共同特征在于具有相對于質量的較高的彎曲比剛度，因此具有較高的屈曲荷載。涂層方法利用相同的機理設計較高屈曲載荷的結構構型。正如本文所證實的，涂層方法提供了一種充分利用增材制造填充結構，以提高結構屈曲載荷的實現(xiàn)方式。本項研究包括數(shù)值和實驗兩部分。

2. 方法
為證明填充結構相對于相同質量的實體結構具有更好的屈曲性能，本文比較了以下兩種基于密度的拓撲優(yōu)化方法：
①基于投影的傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法，其將產(chǎn)生一個幾乎完全黑白的結構；
②涂層方法，其將產(chǎn)生內含多孔填充結構的固體殼結構。采用拓撲優(yōu)化中的標準案例MBB梁(等厚簡支梁上端中部受集中載荷作用，詳細參考2.3節(jié))作為研究對象，比較了兩種拓撲優(yōu)化方法所得結構的柔順性和屈曲荷載，并將屈曲分析的數(shù)值和實驗結果進行了對比。為方便闡述，本文針對二維結構開展研究，但在實驗研究中考慮了三維效應，因而該研究可有效地擴展到三維結構。
2.1.優(yōu)化問題
本文優(yōu)化問題為標準的一定體積約束下的最小柔順性問題，其有限元列式為

                 

(1) 其中，μ是設計變量向量；c是柔順度；K是整體剛度陣 (采用傳統(tǒng)基于密度法拓撲優(yōu)化中的定義方法：疊加插值后的單元剛度矩陣的累加)；U和F分別是整體位移向量和載荷向量；g是體積約束；V(μ)是材料體積；V*是允許使用的最大材料體積。本文基于解析的敏度和移動漸近線法(MMA)[8]更新設計變量。敏度的具體表達式在此不在贅述，詳細內容可參考文獻。

2.2. 涂層設計方法
傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法和涂層方法均可采用過濾方法實現(xiàn)宏觀結構特征尺寸的控制。該過程包括基于偏微分方程(PDF)的密度過濾實現(xiàn)光滑化，以及基于中間密度場映射[10–12]方法實現(xiàn)光滑問題離散化。其中，光滑的程度取決于過濾半徑R(定義見參考文獻[11])，而映射過程由閾值η和陡峭度β決定。 除了控制宏觀特征尺寸，涂層方法可設計內含多孔填充物的固體外殼結構，表面厚度tref決定了結構的固體外殼表面。本文將填充結構等效為均質結構，其材料屬性為周期性填充結構的等效宏觀屬性，為數(shù)值模型中計算精細的微觀結構提供基礎。均質化后的填充結構屬性可通過密度和剛度兩個均勻化參數(shù)來描述，這兩個參數(shù)可通過固體材料性質λm和λE的比值表示。為滿足材料的物理意義，兩個參數(shù)的關系必須滿足Hashin-Shtrikman (HS)邊界。本文選取三角形填充結構，并假定其性能滿足HS上界[14]。對于二維問題，填充結構的密度和剛度的關系已在文獻[15]中給出，如圖1(c)所示：

(2) 需要注意的是，該關系基于固體材料的泊松比為1/3的假設。然而，對于體積分數(shù)較低，以拉壓性能為主導的三角形蜂窩填充結構，材料的泊松比的影響可忽略不計。

２．３． 實驗設計
實驗選擇標準案例MBB梁：一個長寬比為6:1的等厚簡支梁，上端中間受集中荷載作用。其數(shù)值優(yōu)化結構如圖2(a)和2(b)所示。設計域尺寸為300 mm×50 mm，厚度為15 mm，體分比為25 %，采用大小為0.5 mm的雙線性四邊形單元離散。表面厚度tref取1 mm，光滑設計域時過濾半徑R=10 mm。優(yōu)化過程中利用結構對稱性選用模型的一半，但是對于屈曲分析，為了找到非對稱模式，需要使用完整模型。本文選取相對剛度為20%的多孔材料即λE = 0.2，可根據(jù)公式(2)求解得到λm = 0.43，過濾和懲罰參數(shù)的取值參考文獻[16]。

2.4.部件制造
實驗試件[如圖2(c)和(d)所示]采取美國Maskers Tool Works公司的Mendel Max2打印機制備，該打印機配有E3D v6的擠出熱噴頭，采用熔絲制造(FFF)技術。打印材料為丁苯乙烯丁烯橡膠(SEBS)†。該材料是一種具有500%的斷裂伸長率的熱塑性彈性體(IPE)材料，可提供充足的延展性以便在試件不斷裂的情況下觀察屈曲模態(tài)。由于SEBS是黏彈性材料，供應商未提供其楊氏模量，其邵氏硬度A和邵氏硬度D的值分別表示為92和40。熔絲擠出層高為0.2 mm，寬度大約為0.5 mm。填充結構的單胞尺寸是由擠出寬度(等于胞壁厚度)和宏觀密度 λm(見2.7節(jié))決定。作為一種熔絲技術，F(xiàn)FF工藝會產(chǎn)生具有一定各向異性的結構部件，在熔融沉積成型(FDM)過程中可觀察到相同的現(xiàn)象。然而，為簡單起見，假定材料是各向同性線彈性材料，該假設合理性將在第4節(jié)中討論。材料的有效參數(shù)通過實驗確定。 由于實際打印過程中填充結構的密度比預設值43%高，制造出的多孔試件比預先設置的體積稍重一點。試件的蒙皮厚度可用數(shù)字測徑器測量，附加體積主要由于切片軟件設置與擠出熔絲寬度之間的非完美匹配引起的。因而，在數(shù)值模型計算中，通過給填充結構分配額外的重量考慮其體積誤差。優(yōu)化過程中，選用20 %的填充結構剛度，實際制備的填充結構密度是固體的52 %，即填充結構剛度為27 %。在有限元模型中，采用27 %的剛度值，并且與實驗進行了比較，發(fā)現(xiàn)該有限的剛度增加對性能比較影響較小。

2.5.實驗設置
實驗測試由兩部分組成：
①確定有效的材料參數(shù)；
②確定屈曲荷載。該兩部分實驗時選用不同的三點彎曲實驗測試裝置，如圖3(a)和(c)
所示。為了確定材料參數(shù)，在梁的荷載處放置鋼支架，如圖3(a) 所示。荷載的增加通過在用繩子與鋼支架相連的籃子中增加100 g重量來實現(xiàn)(其中籃子在圖中不可見)，載荷位移可直接利用運托架上精度為0.01 mm的千分表測量。由于在該試驗中，梁的荷載始終處于線性范圍以內，因此零點可任意設置。 實驗件的屈曲荷載通過具有10 kN負荷傳感器的機電試驗機(Instron 6022，改造于5500R)確定，如圖3(c)所示。屈曲分析中，控制位移加載速度為1.5 mm·min–1，并采用其他速度用于驗證(見章節(jié)4)。數(shù)據(jù)采樣的速度為每秒20次。 之所以兩個實驗采用不同的裝置，是因為只有當力高于20 N(誤差低于2 %)時，10 kN負荷傳感器是精確的。但是確定材料常數(shù)的力僅僅需要5 N。

2.6.屈曲數(shù)值分析

結構發(fā)生屈曲時的荷載稱為臨界載荷，用Pc表示。線性屈曲問題可轉換為特征值問題求解，其有限元分析(FEA)列式為：

幾何剛度矩陣Kσ(uref)與參考載荷作用下的線性靜力位移(應力)相關，可通過求解Kuref = Fref獲得。臨界載荷Pc等于參考荷載與最小特征值λc的乘積。相關屈曲模態(tài)通過Φ獲得。需要注意的是對于線性屈曲問題，只能獲得相關模態(tài)，無法得到實際振幅(和實際位移)。 初步試驗表明，多孔結構將會產(chǎn)生面外屈曲模態(tài)。為與實際模型進行比較，在Abaqus中建立三維模型替代優(yōu)化中使用的二維數(shù)值模型，并采用八節(jié)點六面體單元(Abaqus C3D8單元)離散。二維模型離散所使用的方形單元在三維模型(x和y方向)中繼續(xù)使用。樣本沿z方向拉伸15 mm形成三維模型，為了減少自由度數(shù)目，模型在z方向上單元長度是平面單元長度的2倍。

最后離散結構的單元尺寸為0.5 mm×0.5 mm×1.0 mm。數(shù)值模型使用具有均質填充性質的固體材料模擬填充結構，而不是實際打印出的三角形結構。這部分假設將在第4節(jié)討論。 載荷均布加載在一個小面域內，其內部含有80個節(jié)點。除了二維問題中定義的邊界條件，約束中心載荷節(jié)點面外運動(u3 = 0)。該邊界條件還對應于力傳動裝置與試驗試件之間的摩擦作用，可防止面外屈曲模態(tài)。 首先，求解方程(3)定義的特征值問題(Abaqus：“線性擾動，屈曲”)。使用弧長法追蹤結構的幾何非線性響 應，對特征值分析細化(Abaqus：“靜態(tài)，弧長”)。對于每個工況，引進非對稱載荷擾動模擬缺陷，其大小是特征值分析中預測得到的屈曲荷載的1%。在這里提到屈曲載荷值都是非線性分析的結果，所有工況非線性分析都比線性分析低2%以下。


2.7.填充結構的屈曲性質
盡管我們的假設是當填充結構的百分比減少時，宏觀的屈曲載荷將顯著提升，但是其結構將易發(fā)生局部屈曲。三角形填充結構的“屈曲強度”可由一般宏觀面內應力狀態(tài)預測。 圖4(a)為三角形填充結構，圖4(b)為單胞放大圖，其中三角形邊長為L，單胞壁厚為t，并且三角形的方向與所使用的物理模型一致。三角形填充結構的屈曲強度取決于比值(t/L)3[19]。當已知正三角形的形狀和常數(shù)參數(shù)時，L、t和λm中只有兩個參數(shù)是獨立的。忽視三角形在交界處的結構重疊效應，第三個參數(shù)與另外兩個參數(shù) 線性相關。因此，填充結構的屈曲強度取決于λ3m。 盡管假設填充結構的彈性性質為線性各向同性，然而屈曲強度與主應力方向相關。對于沿著三角形蜂窩墻壁方向的單軸載荷，屈曲強度可通過簡化的表達式計算。

假設荷載與x軸平行，則屈曲強度為

下面將討論如何建立本文設計所需要的填充結構的屈曲強度，其中填充密度范圍為
λm  (0,1]。需要注意的是，一些假設被引入本文所研究的設計問題中。 完全實體結構可近似為一個三角形布局的框架模型，甚至是桁架模型，這是由于拓撲優(yōu)化方法的本質造成的，此時材料分布使任意內部結構的彎曲最小。

主應力(絕對)值分布[如圖4(b)所示]也證明了這一結論，除了個別梁的橫截面由于離散產(chǎn)生少許不規(guī)則現(xiàn)象，其他大多數(shù)梁都是滿足的。  假定填充密度對于拓撲優(yōu)化結構沒有影響，與完全實體模型獲得的拓撲優(yōu)化結構相同；假設任意填充密度的拓撲優(yōu)化結構可采用完全相同的線性桁架結構建模，并且桁架的正應力在給定的外載荷下不發(fā)生變化。但是，從完全實體結構到具有較小均質剛度的內部多孔結構，桁架的截面積發(fā)生變化。這意味著對于任意一個桿件，填充結構的宏觀軸向應力會比完全實體結構的應力低，可通過一個與表面厚度和填充結構密度有關的因子表示，盡管實體殼中的應力會高一些。通過對完全固體結構所對應的桁架模型面內應力乘以“填充應力參數(shù)” [參見圖4(c)]，可獲得任意填充密度的多孔結構桿對應的面內應力狀態(tài)。

圖4(d)中箭頭指向的桿(或者鏡像于垂直對稱線的桿)在所有壓縮桿件中主應力絕對值最大。這個桿近似滿足x軸方向單軸壓縮，因此，其屈曲強度可采用表達式(4)表示。這個表達式與桿的正壓力之間的比值，對應于一個單位荷載來提供任何填充結構密度的臨界載荷。 此外，固體殼也可能在宏觀失穩(wěn)之前發(fā)生局部屈曲，但是，本次實驗中并沒有建模研究殼的屈曲強度。 3.結果 本節(jié)主要介紹數(shù)值分析結果以及實驗驗證，結果誤差的分析將在第4節(jié)中討論。根據(jù)本文優(yōu)化問題的定義，所有的力和位移值都只考慮中心加載點(頂部中心節(jié)點)的垂直分量。

3.1.等效材料參數(shù)
本文通過實體模型確定等效的泊松比ν0和楊氏模量E0值，來校核數(shù)值模型的準確性。假設材料為線彈性，那么泊松比和楊氏模量均為常數(shù)。根據(jù)結構優(yōu)化理論，多孔材料的等效剛度遵循HS上邊界[方程(2)]。 已知SEBS的泊松比接近0.5，與橡膠類似。為了評價結果對泊松比的敏感程度，將只改變泊松比的兩個相同Abaqus模型運行兩次，其中泊松比分別為ν0= 0.45和 ν0 = 0.49。數(shù)值結果表明，單位荷載可導致0.1%的位移偏差，該值可表征材料模量E0的不確定程度；第一階臨界荷載相差1%。這些不確定性相比與其他誤差來源來說很小。這一結果證實了本文前面的假設，拓撲 優(yōu)化結構中的構件主要處于純拉伸或純壓縮狀態(tài)，泊松比的影響較小。因此，可以簡單地認為泊松比ν0 = 0.49。 通過擬合數(shù)值模型的響應和實驗觀察到的響應可確定等效的楊氏模量E0。

圖3(b)所示為實驗測得的力–位移曲線，可以發(fā)現(xiàn)當力加載至5.3 N時，它是完全線性的。測得六個測量點的一系列值，用它們的平均值擬合曲線，誤差線表征了測得的最小值和最大值。曲線斜率為aexp = 5.92 N·mm–1 ，相關系數(shù)的平方值為R2 = 0.9999。雖然采用了幾何非線性梁模型進行數(shù)值模擬，但在數(shù)值模型中也發(fā)現(xiàn)了實驗中觀測到的線性關系。因此，楊氏模量可以用單個力–位移關系來獲得，如采用單位載荷(1 N)，通過關系 (1 N)/uout = aexp 就可以得到，其中，uout是輸出位移。擬合得到彈性模量為E0 = 65.7 MPa，考慮到材料的黏彈性性質，這個數(shù)字在制造商提供的邵氏硬度值的預期范圍內。  圖3(b)中的力–位移圖還包含了多孔結構的數(shù)據(jù)。與上述實驗一致，可再次測得到一個近乎完美的線性關系(R2 = 0.9994)。多孔結構的測量剛度比實體結構的小10 %，多孔結構的數(shù)值分析預測剛度比測量值小6 %，將在第4節(jié)中將具體討論這種微小偏差的原因。需要注意的是，以上模型的數(shù)據(jù)參考實際打印結構，即選取27%固體填充剛度，而不是固體結構20%的剛度。使用20 %剛度的數(shù)值分析表明，填充結構剛度比實體結構小23 %。

3.2.屈曲性能
對于屈曲分析，需要注意本文是采用二維模型進行優(yōu)化設計，因而主要研究其面內性能。在第4節(jié)中將討論數(shù)值計算和實驗結果之間的偏差。 屈曲分析的結果匯總在圖5中。在圖5(a)中給出了數(shù)值計算的實心結構與多孔結構的非線性響應，并與實驗得到的屈曲荷載進行比較。 對于實心結構，數(shù)值屈曲載荷為23.2 N，實驗的屈曲載荷為29.8 N，其對應的模態(tài)形狀是非常相似的，如圖5(d)和(g)所示。跟預想的一樣，初始屈曲最早出現(xiàn)在具有最高正應力的桿件處，即圖4(d)中的箭頭所指桿。 對于多孔結構，平面外扭曲模態(tài)出現(xiàn)在一階面內屈曲模態(tài)之前，屈曲載荷為64.3 N，如圖5(f)所示。在三維數(shù)值模型中，面外的平移運動僅在單一荷載節(jié)點處受到約束，因而扭曲模態(tài)也能出現(xiàn)。該模型在施加荷載為65.1 N時，平面外模態(tài)與實測結果幾乎相同，如圖5(a)和(c)所示。本文中只考慮多孔結構的一階面內屈曲模態(tài)。為了防止扭轉模態(tài)出現(xiàn)，兩個U形鋼支架安裝在多孔試樣周圍，U形鋼架間距15.2 mm，如圖5(e)所示。支架腿寬19 mm，對稱地放置在距離組件65 mm遠的中心平面處。一個10 kg的總重量(對應100 N)被附在傳遞荷載的鋼支架處，支架與試樣之間的摩擦并未明顯約束試樣的位移形變。如圖5中所示，多孔結構在這個荷載下仍然沒有屈服，但是開始發(fā)生局部失穩(wěn)。因此，我們無法從實驗獲得面內失穩(wěn)模態(tài)，利用數(shù)值模型可以確定面內屈曲載荷為126 N。盡管多孔結構和實體結構的拓撲不同，但是多孔結構的失穩(wěn)模態(tài)應與實心結構類似，如圖5(b)所示。面外扭曲模態(tài)的實驗和數(shù)值結果的高度一致，也進一步支持了數(shù)值模型給出的面內屈曲荷載的正確性。 由于面外屈曲模態(tài)并未做任何改變只是簡單地由人為從二維模型拉伸為三維模型，需要比較面內屈曲模態(tài)所對應的臨界荷載值來衡量結構的穩(wěn)定性。數(shù)值計算表明，多孔結構的屈曲載荷比實心模型高5.4倍。圖中也給出了面外扭曲模態(tài)的臨界荷載值，進一步表明數(shù)值方法確定面內屈曲臨界荷載的正確性。

3.3.填充密度的影響
圖6比較了之前提出的兩種結構和另外三種結構的數(shù)值性能，這三種結構使用相同的參數(shù)和體積約束優(yōu)化獲得，但是填充結構的剛度分別為40%、60%和80%，這些剛度值對應的體積密度分別為67%、82%和92%，如圖6(a)。圖6(b)中屈曲荷載值采用二維線性屈曲分析確定，具體見第2.6節(jié)中所述。二維模型給出的屈曲荷載值略低；但是，由固體結構和多孔結構三維模型所得的面內屈曲荷載的比值非常接近(5.3而不是5.4的比例)。 顯然，當使用較低的填充率時，結構剛度降低接近線性(即柔度增加)，屈曲荷載顯著提高。上述結果的原因在于填充率較低的結構組件寬度較大，彎曲剛度按照組件中心軸垂直距離的三次方增加；而填充比例較高時，對改進屈曲荷載影響很小，其原因是HS邊界曲線有一個陡峭的斜坡，接近ρ= 1，這意味著犧牲剛度只能收益一點點梁的寬度。值的注意得是，與其他四種結構相比，λE = 0.2的結構拓撲不同不是高屈曲載荷的唯一原因：采用不同的初始猜測會導致與實體結構相同的拓撲結構。結果表明這種結構的臨界荷載比實心結構高4.5倍，而不是5.3倍。 圖6(b)給出了填充結構穩(wěn)定性極限的估計曲線，它是填充密度的函數(shù)，具體方法如2.7節(jié)中所述。只有相對屈曲荷載低于這條曲線，宏觀結構才有望保持局部穩(wěn)定性。

4. 討論
實驗結果清楚地驗證了我們的假設，與傳統(tǒng)最小柔順性方法的優(yōu)化結構相比，利用涂層方法的增材制造多孔填充結構，屈曲荷載顯著提高，但是依舊存在一些小的偏差。 數(shù)值模型的兩個主要假設分別是SEBS是線彈性材料，以及填充結構是均勻的和各向同性的，且滿足HS上邊界。

關于假設打印出的SEBS是線彈性材料，這是一種簡單的理想化，至少忽略了三方面的影響：
①黏彈性，在整個試驗中可以觀測到；
②楊氏模量的應變相關性，在276Author name et al. / Engineering 2(2016) xxx–xxx 給定的簡單實驗裝置中與黏彈性的影響難于區(qū)分；
③熔 絲打印技術產(chǎn)生的各向異性。 黏彈性表現(xiàn)在依賴于應力–應變曲線的變形率和蠕變的顯著程度。

用圖3(a)所示的手動設置過程確定E0，為了使蠕變效應最小，施加瞬態(tài)荷載。用圖3(c)中的實驗機測量屈曲荷載，隨后獲得了采用較高應變速率(5 mm·min–1)的測量值和使用手動設置得到的測量值。前者的屈曲荷載稍高，后者的屈曲荷載稍低，但兩者測量結果是在報告值的10%以內�；�于這些觀察，黏彈性效應被認為是試驗中不確定性的主要來源。如果不考慮這些影響，測量位移將會趨于過高估計，也就是說擬合的楊氏模量和數(shù)值確定的屈曲載荷將會估計偏低，這或許可以解釋測量實心結構的一些偏差。


楊氏模量的應變相關性可在兩個方向上影響數(shù)值計算結果。正如前面提到的，這部分的影響很難在現(xiàn)有的簡單測試裝置情況下與黏彈性影響區(qū)分開。 熔絲打印技術產(chǎn)生的各向異性對于多孔結構的影響可以忽略，因為打印結構表面和內部填充時，擠出路徑都是平行于局部傳力路徑方向，并且只有兩個對于表面和一個用于填充結構的熔絲路徑。因此，各向異性主要與實體結構相關；然而，這種影響在框架結構中不是關鍵的，因為打印所有的桿件時都是相同的擠出模式：界面采用縱向打印方式，而內部采用橫向打印方式。在某種意義上，由于各向異性，固體結構可看作是內部剛度稍微降低的全密度的多孔材料，然而，剛度減少的估計超過了本文的范圍，并且一定程度上，這種影響可通過擬合等效材料參數(shù)進行有效處理。需要注意的是，當拓展到三維設計時，各向異性的影響在垂直于層的方向比所述層的平面內更強。然而，各向異性的程度取決于增 材制造技術的選擇，并且在一定程度上可以通過熱處理緩解。


此外，假設填充結構是均質、各向同性，且滿足HS上邊界是相當簡化的。在實際打印時，三角形填充結構顯然不能從宏觀結構尺度上分離出來，這就意味著填充結構應當認為是單獨的結構部件，而不是均質材料。但是，例如在參考文獻，當使用某些單胞時，認為其均質性質可看成是一個合理的近似。此外，沿著結構邊緣填充三角幾何形狀較差，從而導致材料分布不均勻，進而導致結果不精確，特別是對于比較細的結構。內部填充結構的缺陷性是多孔結構的各向異性的重要來源。 數(shù)值模型和實驗之間兩個最重要的偏差是實體結構的數(shù)值屈曲荷載比實驗值小約20%，多孔結構的數(shù)值預測剛度比實驗測量剛度低6%。相比于屈曲荷載的5倍的增加量，這些偏差較小，無法改變該研究的結論。顯然，屈曲荷載的增益是涂層方法所固有的，并不限制于MBB梁。圖6(b)是填充結構的穩(wěn)定性曲線，可看出20%的填充剛度結構可能是接近于最佳的局部和全局屈曲強度之間的權衡。然而需要注意的是，這個說法是建立在總體假設的前提下，不僅僅涉及所述的填充結構的穩(wěn)定性曲線的推導假設，還有該填充結構是均勻、各向同性，且滿足HS上限的假設。


5. 結論
本文證實了涂層拓撲優(yōu)化方法可以用于設計增材制造填充構件，并且相比標準最小柔順性方法進行優(yōu)化的結構，屈曲性能大幅度提高。在特定的MBB梁算例中，多孔結構的屈曲荷載比實體結構高5倍以上，而剛度下降20 %~25%。屈曲載荷提高的原因是由于多孔結構的引入增大了結構部件的寬度，進而提升了比彎曲剛度。 增材制造實驗試件的實驗測試結果支撐了數(shù)值結果。然而測量結果與一些不確定性相關，主要是關于實驗試件材料屬性的粗略假設，但結果的趨勢十分明顯，與性能差異相比，這種偏差很小。 繼本文研究工作之后，探討一下未來的相關工作。多孔組件能夠得到如此高的面內屈曲荷載，這是由于結構發(fā)生局部屈曲(由于集中荷載)而不是整體失穩(wěn)。一般來說，如果填充密度選擇過低，在結構發(fā)生整體失穩(wěn)之前，填充結構處會出現(xiàn)局部屈曲。因此，今后我們需要設計完全的三維結構實驗，研究多孔材料的面外屈曲性能。 本文研究證明了拓撲優(yōu)化方法適合增材制造這一特殊制造手段的可能性，也彰顯了該方法對于顯著改善結構性能的重要作用。